算術級数の素数定理

算術級数の素数定理（さんじゅつきゅうすうのそすうていり）は、初項 a と公差 d が互いに素である等差数列に含まれる素数で、x 以下のものの数を ${\displaystyle \pi _{d,a}(x)}$ で表すとき、

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)}$

となるという定理である。

歴史

${\displaystyle \gcd(a,d)=1}$ である自然数 a, d に対し、${\displaystyle dn a}$ (n は自然数)と書ける素数が無限に存在することは古くから予想されていた。

エウクレイデス（ユークリッド）は素数が無限に多く存在することの証明を変形し、 4n 3 の形の素数が無限に多く存在する事を証明した。レオンハルト・オイラーはフェルマー数 F_kはどの2つも互いに素であること、F_kの素因数は n 2^{k 1} 1 の形をしていることを示したが、これから任意の整数 k に対し、n 2^k 1の形の素数が無限に多く存在することがわかる。アドリアン＝マリ・ルジャンドルは一般の円分多項式の値の性質から、 ${\displaystyle dn 1}$ の形の素数が無限に多く存在する事を証明した。これらの証明はいずれも初等的であるが、一般の初項に対しては拡張できない。

1837年にペーター・グスタフ・ディリクレがL関数 ${\displaystyle L(s,\chi )}$ を導入し、${\displaystyle L(1,\chi )\neq 0}$ を示す事で初めて${\displaystyle \gcd(a,d)=1}$ である自然数 a, d に対し、${\displaystyle dn a}$の形の素数が無限に多く存在する事、さらに、 x 以下の該当する素数の逆数の和は${\displaystyle \sim (\log \log x)/\varphi (d)}$を満たすことを示した。

算術級数の素数定理

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)}$

はシャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサンによって証明された。彼は素数定理を証明したのと同様の方法をディリクレのL関数に用い、 t が0でない実数で、${\displaystyle a$ のとき ${\displaystyle L(1-a it,\chi )\neq 0}$ となる定数 c が存在することを示すことによってこの定理をより強い形

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)={\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x) O(x\exp(-c_{1}{\sqrt {\log x}}))}$

（ここで c₁ は d に依存する正の定数）で証明した。

算術級数の素数定理の拡張

算術級数の素数定理が証明された後、${\displaystyle \pi _{d,a}(x)}$ の誤差項の改善が大きな課題となった。

イヴァン・ヴィノグラードフ（1958年）は指数和の評価を用いて誤差項を ${\displaystyle O(x\exp(-c_{1}(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}))}$ に改善した。これが現在知られている最良の誤差項である。

一方、ゴールドバッハ予想などの数論上の問題の研究の過程で、dに対する依存の評価がより重要であると考えられるようになった。このときに問題となるのは${\displaystyle L(s,\chi )}$は χ が実指標のとき、${\displaystyle s>1-c/\log t}$ を満たす零点を持つ可能性を除外できないことである。ただし、正の実数 s に対して ${\displaystyle L(s,\chi )=0}$ となる事例はあるとしても1個しか存在しない。

ディリクレの類数公式から、任意の正の ε に対して ${\displaystyle (L(1,\chi ))^{-1}=O(d^{1/2 \epsilon })}$ であることがわかり、これから${\displaystyle L(s,\chi )}$ の実の零点 s は ${\displaystyle s<1-c/t^{1/2 \epsilon }}$ を満たすことが従う。ここで c は計算可能な正の定数である。

カール・ジーゲルは二次体の類数についての研究結果から任意の正の ε に対して ${\displaystyle (L(1,\chi ))^{-1}=O(d^{\epsilon })}$ を示し、これから ${\displaystyle s<1-c/t^{\epsilon }}$ を 示した。ただしこのときは c は計算可能ではない。これは後にセオドア・エスターマンによって複素函数論の基礎的な定理のみを用いて証明された。この結果から、任意の正の ε に対して、${\displaystyle x>\exp k^{\epsilon }}$ ならば

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)={\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x) O(x\exp(-c_{1}{\sqrt {\log x}}))}$

（ここで c₁ は ε にのみ依存する正の定数） が成り立つ事が示される。

参考文献

• K. Prachar, Primzahlverteilung, Springer-Verlag, 1955, 1978.
• H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory, American Mathematical Society, 2004.